Математика idle-игр: почему числа становятся такими огромными

Числа в idle-играх становятся такими огромными потому, что игры построены на экспоненциальном росте: ваше производство не просто увеличивается, оно наращивается сложным процентом, и каждая покупка приближает следующую. Цены тоже растут геометрически — каждое здание обычно стоит на фиксированный процент больше предыдущего, — и перетягивание каната между растущим доходом и растущими ценами и есть весь жанр. Стоит увидеть эти две кривые, как любое дизайнерское решение в Cookie Clicker, Clicker Heroes и тысяче их наследников внезапно обретает смысл.

Никакой математической подготовки для этого не нужно. Немного умножения и по одному разобранному примеру за раз проведут вас до конца, и к финалу вы будете знать, почему числа взрываются, почему прогресс всё равно встаёт, почему престиж это чинит и что означает «1.5aa», когда счётчику перестаёт хватать привычных слов.

Почему числа в idle-играх растут так быстро?

Начнём с максимально простой idle-игры: вы зарабатываете 1 монету в секунду и можете покупать машины, каждая из которых добавляет ещё 1 монету в секунду.

Будь рост линейным, вы бы покупали машину, зарабатывали чуть быстрее, покупали следующую, и доход поднимался бы ровными шагами: 1, 2, 3, 4 монеты в секунду. Мило, но скучно — через час вы были бы богаче стартового состояния в пару десятков раз.

Idle-игры работают не так. Они работают на сложном проценте: доход покупает улучшения, улучшения поднимают доход, доход быстрее покупает улучшения, которые ещё сильнее поднимают доход. Каждый шаг кормит следующий. Классическая иллюстрация — удвоение. Возьмите 1 и удвойте десять раз — получится 1024. Удвойте двадцать раз — больше миллиона. Тридцать — больше миллиарда. Ни один отдельный шаг не выглядит драматично: детонирует именно наслоение.

Настоящие игры складывают сразу несколько источников такого роста:

Больше зданий — каждое добавляет производство.
Улучшения-множители — «бабушки вдвое эффективнее» не добавляют производство, а умножают всё, что бабушки уже делают.
Синергии — улучшения, усиливающие одно здание в зависимости от количества другого.
Бонусы престижа — постоянные множители поверх всего остального (о них ниже).

Множители — это ускоритель. Пять отдельных улучшений по 2x не складываются в 10x: они перемножаются в 32x. Наберите несколько десятков таких за долгий заход — и единственный возможный итог это числа с бо́льшим количеством цифр, чем экрану удобно вместить. Это не баг и не случайность. Наблюдать, как абсурдное число становится ещё абсурднее, — и есть продукт.

Почему здания всё время дорожают?

Если бы вся история сводилась к растущему доходу, вы бы за минуты купили бесконечное число зданий и закончили игру к обеду. Поэтому каждая idle-игра сопротивляется геометрическим ростом цен: каждая копия здания стоит на фиксированный процент больше предыдущей, а не на фиксированную сумму.

Самая известная конвенция, популяризованная Cookie Clicker и с тех пор перенятая огромной частью жанра, — примерно 1,15x за покупку: каждое здание стоит примерно на 15% больше предыдущего купленного. Пятнадцать процентов звучит мягко. Это не так. Посмотрите, что они делают со зданием, которое начинается со 100 монет:

Покупка	Цена (при ~1,15x за штуку)
1-я	100
5-я	~175
10-я	~352
25-я	~2860
50-я	~93 000
100-я	~101 миллион

То же здание. То же производство у каждого. Сотая копия стоит примерно в миллион раз больше первой. Такова природа геометрического роста: он еле плетётся вначале, а потом уходит в вертикаль. (Проценты и точные кривые различаются от игры к игре, но форма почти универсальна.)

В этом и гениальность дизайна: ваш доход растёт экспоненциально, и цены растут экспоненциально ему навстречу. Когда ваша кривая дохода временно круче — например, сразу после крупного улучшения-множителя, — игра ощущается быстрой и щедрой. Когда вперёд вырывается кривая цен, всё замедляется и следующая покупка начинает казаться далёкой. Весь эмоциональный ритм idle-игры — это две кривые, попеременно уходящие в отрыв.

Что такое софткап и почему прогресс упирается в стену?

Рано или поздно кривая цен побеждает окончательно, и вы упираетесь в стену: точку, где следующая осмысленная покупка стоит больше, чем вы реально можете накопить при текущем доходе. Улучшения, приходившие раз в минуту, теперь приходят раз в несколько часов, а потом раз в несколько дней.

Некоторые игры затачивают эту стену намеренно с помощью софткапов — точек, после которых рост механики специально замедляется. Вместо того чтобы запретить вам двигаться дальше (это был бы хардкап), игра тихо ухудшает курс обмена: каждый следующий уровень какого-то параметра даёт меньше предыдущего или стоит непропорционально больше. Давить дальше можно, просто это перестаёт особо окупаться. Софткапы не дают одной-единственной стратегии сбежать с игрой и мягко подталкивают вас к той механике, в которую игра хочет вас втянуть следующей.

Но независимо от того, возникла стена сама (цены вас обогнали) или была спроектирована (софткап), ощущение одинаковое: застой. А застой — это место, где вступает важнейшая механика жанра.

Как математика престижа возвращает разгон?

Когда прогресс встаёт, большинство долгоиграющих idle-игр предлагает сброс — вознесение в Cookie Clicker, Hero Souls в Clicker Heroes, Time Warp в Time Clickers, кнопку ascend в Capybara Clicker. Вы отдаёте заход и получаете взамен постоянный множитель производства.

Вот почему это работает математически. Стена существует потому, что цены растут геометрически: каждый шаг вперёд стоит, скажем, на 15% больше предыдущего. Разовое усиление такую кривую не побеждает — оно лишь чуть отодвигает стену. А вот постоянный множитель пересчитывает всю вашу кривую дохода. Зарабатывайте вдвое быстрее — и любая цена на доске оказывается вдвое ближе, включая цены за вашей прежней стеной. Наложите ещё один множитель на следующем сбросе, и они перемножатся: 2x, затем 2x — это 4x, а не 2+2. Мультипликативные бонусы — единственный вид ответа, который держит темп с мультипликативными ценами.

Такова глубинная структура жанра: геометрические цены создают стену, а геометрические бонусы престижа служат противовесом. Игра между ними — решение, отдал ли заход всё, что мог, и пора ли обналичиваться, — достаточно богата, чтобы мы посвятили ей отдельный гид: как работают престиж, вознесение и перерождение.

Миллион, миллиард, триллион… а что дальше?

Растущий сложным процентом доход рано или поздно обгоняет бытовой словарь, поэтому idle-игры выработали собственные конвенции наименования чисел. Лестница начинается знакомо:

Миллион — 1 000 000 (единица с 6 нулями)
Миллиард — 9 нулей
Триллион — 12 нулей
Квадриллион — 15 нулей
Квинтиллион, секстиллион, септиллион… — каждый шаг добавляет 3 нуля

Названия существуют глубоко по лестнице (октиллион, нониллион, дециллион…), и игры вроде Capybara Clicker с удовольствием загоняют вас в триллионы: её скин Galactic Capybara стоит 30 000 триллионов капибар. Но «-иллионы» становятся громоздкими и плохо сравниваются на глаз, поэтому игры переходят на компактные записи:

Научная нотация записывает число как небольшую величину, умноженную на степень десяти: 2.5e15 означает 2,5 с десятичной запятой, сдвинутой на 15 позиций, — 2,5 квадриллиона. Её суперсила — сравнение: чтобы понять, какое из двух чисел больше, достаточно сравнить цифру после «e». 3.1e18 мгновенно бьёт 9.9e17, считать нули не нужно.

Буквенная нотация (иногда её называют «aa-нотацией») продолжает сокращения K/M/B/T по алфавиту: после 999T вы перекатываетесь в 1aa, затем ab, ac и дальше, где каждая пара букв отмечает очередной множитель в 1000. Читается это больше как игра и меньше как статья по физике — поэтому мобильные idle-игры её и любят.

Большинство игр позволяют выбрать удобную нотацию в настройках. Неправильного ответа тут нет — это разные костюмы для одного и того же числа.

Как понять, какое улучшение купить? Мышление через срок окупаемости

Вот единственный практический расчёт, который стоит делать в любой idle-игре, и для него нужно только деление:

Срок окупаемости = цена покупки ÷ прирост производства.

Он показывает, сколько секунд нового производства нужно, чтобы покупка окупила себя. Меньше — лучше. Крошечный разобранный пример: допустим, вы производите 50 монет в секунду и выбираете между:

Зданием A: стоит 1000 монет, добавляет 10 монет/сек → 1000 ÷ 10 = 100 секунд до окупаемости
Зданием B: стоит 5000 монет, добавляет 25 монет/сек → 5000 ÷ 25 = 200 секунд до окупаемости

Прямо сейчас здание A — покупка получше, хотя B добавляет больше сырого производства: A возвращает вложение вдвое быстрее, а чем раньше вложение окупается, тем раньше оно начинает финансировать следующее. Сложный процент вознаграждает скорость реинвестирования, а не размер отдельной покупки.

Два уточнения, которые стоит знать:

Самое дешёвое не значит лучшее. У самого дешёвого варианта часто худшее соотношение окупаемости, чем у среднего по цене. Всегда делите, никогда не предполагайте. Это ровно тот принцип «покупай по отдаче, а не по цене» из нашего руководства по стратегии Cookie Clicker.
Улучшения-множители обычно рвут всё остальное. Улучшение, удваивающее выпуск здания, добавляет всё текущее производство этой линии зданий заново — его фактическая окупаемость часто куда лучше, чем у любой отдельной покупки здания. Если улучшение с процентами или формулировкой «вдвое эффективнее» вам по карману, проверяйте его первым.

Считать это постоянно не нужно. Делайте расчёт в моменты, которые действительно важны, — когда сидите на большой куче и искренне не уверены, — а в остальное время полагайтесь на чутьё. Чутьё становится хорошим быстро, стоит несколько раз проделать деление руками.

Что эффективнее: активное кликанье или idle-игра?

Честный математический ответ: активная игра приносит больше за минуту, idle-игра — больше за единицу усилий. Что «лучше», целиком зависит от того, какой ресурс вы оптимизируете: своё время или своё внимание.

Активная игра складывает бонусы, до которых idle-игре не дотянуться. В Cookie Clicker эффекты золотых печений перемножаются, и удачная комбинация за секунды приносит больше, чем часы пассивного производства. В Crusher Clicker или Money Clicker чистая скорость кликов напрямую и есть доход, особенно вначале. Если вы всё равно сидите у экрана, играть активно строго выгоднее.

Но пассивный доход — это умножение на время, которое вы всё равно не собирались тратить на игру. Скромная скорость производства, работающая восемь часов, пока вы спите, обгоняет лихорадочную двадцатиминутную сессию. Игры, созданные под это, — Clicker Heroes, Time Clickers, большая часть нашей коллекции idle-игр — продолжают зарабатывать при закрытой или фоновой вкладке, поэтому математически оптимальный для большинства игроков режим гибридный: короткие активные вспышки, чтобы забрать улучшения-множители и ограниченные по времени бонусы, длинные пассивные промежутки, чтобы сложный процент отработал нудную середину, и ритм возвращений, в котором накопленное тратится сразу по приходу (непотраченная idle-валюта — единственное в этих играх, что не растёт сложным процентом).

Эволюция жанра тоже отражает эту математику. Как только дизайнеры поняли, что числа работают и с вашим пальцем, и без него, игры сместились от «сначала клики» к «сначала idle» — этот сдвиг можно проследить в нашей истории кликеров и увидеть по всему современному каталогу кликеров, где большинство тайтлов сегодня смешивают оба режима. А если хочется почувствовать разницу бок о бок, список лучших idle-игр отмечает, какие тайтлы играют на idle-математике, а какие вознаграждают активный гринд.

Вывод

Каждая idle-игра — один и тот же короткий рассказ с разными маскотами: доход растёт экспоненциально, цены геометрически лезут ему навстречу, столкновение порождает стену, а множители престижа перезапускают гонку в вашу пользу. Огромные числа — не смысл этой математики, а её улика, видимый выхлоп двух экспоненциальных кривых, неделями сражающихся друг с другом. Научитесь видеть кривые — и станете играть лучше в любую игру жанра, от солнечной экономики Planet Clicker 2 до того, что возглавит следующую редакцию нашего списка лучших кликеров.

Часто задаваемые вопросы

Почему в idle-играх такие большие числа?

Потому что ядро механики — рост сложным процентом, а такой рост экспоненциален: он не поднимается ступеньками, он взрывается. Улучшения-множители складываются мультипликативно (пять улучшений по 2x дают 32x, а не 10x), поэтому любая построенная на них игра неизбежно доезжает до триллионов и дальше. Большие числа — видимая отдача дизайна, а не украшение.

Почему каждое следующее здание дороже предыдущего?

Игры масштабируют каждую покупку геометрически: распространённая конвенция, популяризованная Cookie Clicker, — каждая копия стоит примерно на 15% больше предыдущей. Без растущих цен экспоненциальный доход позволял бы скупить всё мгновенно. Именно растущая кривая цен превращает трату в решение, а не в формальность.

Что означает «e» в числах idle-игр, например 2.5e15?

Это научная нотация: число после «e» показывает, на сколько позиций сдвигается десятичная запятая. То есть 2.5e15 — это 2,5, за которыми идут ещё 14 цифр, — 2,5 квадриллиона. Сравнивайте числа по тому, что стоит после «e»: 1e18 в десять раз больше 1e17. Многие игры предлагают в настройках и буквенную нотацию (aa, ab, ac) как альтернативу.

Как решить, какое улучшение купить первым?

Поделите цену на прирост производства — получится срок окупаемости в секундах. Покупайте то, что окупается быстрее всего, и сначала проверяйте улучшения-множители, поскольку удвоение уже существующей линии зданий обычно выгоднее покупки ещё одного здания. Самый дешёвый вариант часто не лучший; деление занимает пять секунд и регулярно меняет ответ.

Как лучше играть в idle-игры: активно или оставлять работать?

И так, и так, по расписанию. Активная игра приносит больше за минуту — доход от скорости кликов и складывающиеся бонусы вроде золотых печений Cookie Clicker существуют, только пока вы у экрана. Пассивная игра приносит больше за единицу усилий, превращая часы, потраченные на другое, в бесплатный прогресс. Эффективная схема — короткие активные сессии ради множителей, длинные пассивные промежутки между ними и немедленная трата накопленного при каждом возвращении.