Математика idle-игр: почему числа становятся такими огромными
Числа в idle-играх становятся такими огромными потому, что игры построены на экспоненциальном росте: ваше производство не просто увеличивается, оно наращивается сложным процентом, и каждая покупка приближает следующую. Цены тоже растут геометрически, каждое здание обычно стоит на фиксированный процент больше предыдущего, и перетягивание каната между растущим доходом и растущими ценами и есть весь жанр. Стоит увидеть эти две кривые, как любое дизайнерское решение в Cookie Clicker, Clicker Heroes и тысяче их наследников внезапно обретает смысл.
Никакой математической подготовки для этого не нужно. Немного умножения и по одному разобранному примеру за раз проведут вас до конца, и к финалу вы будете знать, почему числа взрываются, почему прогресс всё равно встаёт, почему престиж это чинит и что означает «1.5aa», когда счётчику перестаёт хватать привычных слов.
Почему числа в idle-играх растут так быстро?
Начнём с максимально простой idle-игры: вы зарабатываете 1 монету в секунду и можете покупать машины, каждая из которых добавляет ещё 1 монету в секунду.
Будь рост линейным, вы бы покупали машину, зарабатывали чуть быстрее, покупали следующую, и доход поднимался бы ровными шагами: 1, 2, 3, 4 монеты в секунду. Мило, но скучно, через час вы были бы богаче стартового состояния в пару десятков раз.
Idle-игры работают не так. Они работают на сложном проценте: доход покупает улучшения, улучшения поднимают доход, доход быстрее покупает улучшения, которые ещё сильнее поднимают доход. Каждый шаг кормит следующий. Классическая иллюстрация, удвоение. Возьмите 1 и удвойте десять раз, получится 1024. Удвойте двадцать раз, больше миллиона. Тридцать, больше миллиарда. Ни один отдельный шаг не выглядит драматично: детонирует именно наслоение.
Настоящие игры складывают сразу несколько источников такого роста:
- Больше зданий: каждое добавляет производство.
- Улучшения-множители: «бабушки вдвое эффективнее» не добавляют производство, а умножают всё, что бабушки уже делают.
- Синергии: улучшения, усиливающие одно здание в зависимости от количества другого.
- Бонусы престижа: постоянные множители поверх всего остального (о них ниже).
Множители, это ускоритель. Пять отдельных улучшений по 2x не складываются в 10x: они перемножаются в 32x. Наберите несколько десятков таких за долгий заход, и единственный возможный итог это числа с бо́льшим количеством цифр, чем экрану удобно вместить. Это не баг и не случайность. Наблюдать, как абсурдное число становится ещё абсурднее, и есть продукт.
Почему здания всё время дорожают?
Если бы вся история сводилась к растущему доходу, вы бы за минуты купили бесконечное число зданий и закончили игру к обеду. Поэтому каждая idle-игра сопротивляется геометрическим ростом цен: каждая копия здания стоит на фиксированный процент больше предыдущей, а не на фиксированную сумму.
Самая известная конвенция, популяризованная Cookie Clicker и с тех пор перенятая огромной частью жанра, примерно 1,15x за покупку: каждое здание стоит примерно на 15% больше предыдущего купленного. Пятнадцать процентов звучит мягко. Это не так. Посмотрите, что они делают со зданием, которое начинается со 100 монет:
| Покупка | Цена (при ~1,15x за штуку) |
|---|---|
| 1-я | 100 |
| 5-я | ~175 |
| 10-я | ~352 |
| 25-я | ~2860 |
| 50-я | ~93 000 |
| 100-я | ~101 миллион |
То же здание. То же производство у каждого. Сотая копия стоит примерно в миллион раз больше первой. Такова природа геометрического роста: он еле плетётся вначале, а потом уходит в вертикаль. (Проценты и точные кривые различаются от игры к игре, но форма почти универсальна.)
В этом и гениальность дизайна: ваш доход растёт экспоненциально, и цены растут экспоненциально ему навстречу. Когда ваша кривая дохода временно круче, например, сразу после крупного улучшения-множителя, игра ощущается быстрой и щедрой. Когда вперёд вырывается кривая цен, всё замедляется и следующая покупка начинает казаться далёкой. Весь эмоциональный ритм idle-игры, это две кривые, попеременно уходящие в отрыв.
Что такое софткап и почему прогресс упирается в стену?
Рано или поздно кривая цен побеждает окончательно, и вы упираетесь в стену: точку, где следующая осмысленная покупка стоит больше, чем вы реально можете накопить при текущем доходе. Улучшения, приходившие раз в минуту, теперь приходят раз в несколько часов, а потом раз в несколько дней.
Некоторые игры затачивают эту стену намеренно с помощью софткапов, точек, после которых рост механики специально замедляется. Вместо того чтобы запретить вам двигаться дальше (это был бы хардкап), игра тихо ухудшает курс обмена: каждый следующий уровень какого-то параметра даёт меньше предыдущего или стоит непропорционально больше. Давить дальше можно, просто это перестаёт особо окупаться. Софткапы не дают одной-единственной стратегии сбежать с игрой и мягко подталкивают вас к той механике, в которую игра хочет вас втянуть следующей.
Но независимо от того, возникла стена сама (цены вас обогнали) или была спроектирована (софткап), ощущение одинаковое: застой. А застой, это место, где вступает важнейшая механика жанра.
Как математика престижа возвращает разгон?
Когда прогресс встаёт, большинство долгоиграющих idle-игр предлагает сброс, вознесение в Cookie Clicker, Hero Souls в Clicker Heroes, Time Warp в Time Clickers, кнопку ascend в Capybara Clicker. Вы отдаёте заход и получаете взамен постоянный множитель производства.
Вот почему это работает математически. Стена существует потому, что цены растут геометрически: каждый шаг вперёд стоит, скажем, на 15% больше предыдущего. Разовое усиление такую кривую не побеждает, оно лишь чуть отодвигает стену. А вот постоянный множитель пересчитывает всю вашу кривую дохода. Зарабатывайте вдвое быстрее, и любая цена на доске оказывается вдвое ближе, включая цены за вашей прежней стеной. Наложите ещё один множитель на следующем сбросе, и они перемножатся: 2x, затем 2x, это 4x, а не 2+2. Мультипликативные бонусы, единственный вид ответа, который держит темп с мультипликативными ценами.
Такова глубинная структура жанра: геометрические цены создают стену, а геометрические бонусы престижа служат противовесом. Игра между ними, решение, отдал ли заход всё, что мог, и пора ли обналичиваться, достаточно богата, чтобы мы посвятили ей отдельный гид: как работают престиж, вознесение и перерождение.
Миллион, миллиард, триллион… а что дальше?
Растущий сложным процентом доход рано или поздно обгоняет бытовой словарь, поэтому idle-игры выработали собственные конвенции наименования чисел. Лестница начинается знакомо:
- Миллион: 1 000 000 (единица с 6 нулями)
- Миллиард: 9 нулей
- Триллион: 12 нулей
- Квадриллион: 15 нулей
- Квинтиллион, секстиллион, септиллион…: каждый шаг добавляет 3 нуля
Названия существуют глубоко по лестнице (октиллион, нониллион, дециллион…), и игры вроде Capybara Clicker с удовольствием загоняют вас в триллионы: её скин Galactic Capybara стоит 30 000 триллионов капибар. Но «-иллионы» становятся громоздкими и плохо сравниваются на глаз, поэтому игры переходят на компактные записи:
Научная нотация записывает число как небольшую величину, умноженную на степень десяти: 2.5e15 означает 2,5 с десятичной запятой, сдвинутой на 15 позиций, 2,5 квадриллиона. Её суперсила, сравнение: чтобы понять, какое из двух чисел больше, достаточно сравнить цифру после «e». 3.1e18 мгновенно бьёт 9.9e17, считать нули не нужно.
Буквенная нотация (иногда её называют «aa-нотацией») продолжает сокращения K/M/B/T по алфавиту: после 999T вы перекатываетесь в 1aa, затем ab, ac и дальше, где каждая пара букв отмечает очередной множитель в 1000. Читается это больше как игра и меньше как статья по физике, поэтому мобильные idle-игры её и любят.
Большинство игр позволяют выбрать удобную нотацию в настройках. Неправильного ответа тут нет, это разные костюмы для одного и того же числа.
Как понять, какое улучшение купить? Мышление через срок окупаемости
Вот единственный практический расчёт, который стоит делать в любой idle-игре, и для него нужно только деление:
Срок окупаемости = цена покупки ÷ прирост производства.
Он показывает, сколько секунд нового производства нужно, чтобы покупка окупила себя. Меньше, лучше. Крошечный разобранный пример: допустим, вы производите 50 монет в секунду и выбираете между:
- Зданием A: стоит 1000 монет, добавляет 10 монет/сек → 1000 ÷ 10 = 100 секунд до окупаемости
- Зданием B: стоит 5000 монет, добавляет 25 монет/сек → 5000 ÷ 25 = 200 секунд до окупаемости
Прямо сейчас здание A, покупка получше, хотя B добавляет больше сырого производства: A возвращает вложение вдвое быстрее, а чем раньше вложение окупается, тем раньше оно начинает финансировать следующее. Сложный процент вознаграждает скорость реинвестирования, а не размер отдельной покупки.
Два уточнения, которые стоит знать:
- Самое дешёвое не значит лучшее. У самого дешёвого варианта часто худшее соотношение окупаемости, чем у среднего по цене. Всегда делите, никогда не предполагайте. Это ровно тот принцип «покупай по отдаче, а не по цене» из нашего руководства по стратегии Cookie Clicker.
- Улучшения-множители обычно рвут всё остальное. Улучшение, удваивающее выпуск здания, добавляет всё текущее производство этой линии зданий заново, его фактическая окупаемость часто куда лучше, чем у любой отдельной покупки здания. Если улучшение с процентами или формулировкой «вдвое эффективнее» вам по карману, проверяйте его первым.
Считать это постоянно не нужно. Делайте расчёт в моменты, которые действительно важны, когда сидите на большой куче и искренне не уверены, а в остальное время полагайтесь на чутьё. Чутьё становится хорошим быстро, стоит несколько раз проделать деление руками.
Что эффективнее: активное кликанье или idle-игра?
Честный математический ответ: активная игра приносит больше за минуту, idle-игра, больше за единицу усилий. Что «лучше», целиком зависит от того, какой ресурс вы оптимизируете: своё время или своё внимание.
Активная игра складывает бонусы, до которых idle-игре не дотянуться. В Cookie Clicker эффекты золотых печений перемножаются, и удачная комбинация за секунды приносит больше, чем часы пассивного производства. В Crusher Clicker или Money Clicker чистая скорость кликов напрямую и есть доход, особенно вначале. Если вы всё равно сидите у экрана, играть активно строго выгоднее.
Но пассивный доход, это умножение на время, которое вы всё равно не собирались тратить на игру. Скромная скорость производства, работающая восемь часов, пока вы спите, обгоняет лихорадочную двадцатиминутную сессию. Игры, созданные под это, Clicker Heroes, Time Clickers, большая часть нашей коллекции idle-игр, продолжают зарабатывать при закрытой или фоновой вкладке, поэтому математически оптимальный для большинства игроков режим гибридный: короткие активные вспышки, чтобы забрать улучшения-множители и ограниченные по времени бонусы, длинные пассивные промежутки, чтобы сложный процент отработал нудную середину, и ритм возвращений, в котором накопленное тратится сразу по приходу (непотраченная idle-валюта, единственное в этих играх, что не растёт сложным процентом).
Эволюция жанра тоже отражает эту математику. Как только дизайнеры поняли, что числа работают и с вашим пальцем, и без него, игры сместились от «сначала клики» к «сначала idle», этот сдвиг можно проследить в нашей истории кликеров и увидеть по всему современному каталогу кликеров, где большинство тайтлов сегодня смешивают оба режима. А если хочется почувствовать разницу бок о бок, список лучших idle-игр отмечает, какие тайтлы играют на idle-математике, а какие вознаграждают активный гринд.
Вывод
Каждая idle-игра, один и тот же короткий рассказ с разными маскотами: доход растёт экспоненциально, цены геометрически лезут ему навстречу, столкновение порождает стену, а множители престижа перезапускают гонку в вашу пользу. Огромные числа, не смысл этой математики, а её улика, видимый выхлоп двух экспоненциальных кривых, неделями сражающихся друг с другом. Научитесь видеть кривые, и станете играть лучше в любую игру жанра, от солнечной экономики Planet Clicker 2 до того, что возглавит следующую редакцию нашего списка лучших кликеров.
Часто задаваемые вопросы
Почему в idle-играх такие большие числа?
Потому что ядро механики, рост сложным процентом, а такой рост экспоненциален: он не поднимается ступеньками, он взрывается. Улучшения-множители складываются мультипликативно (пять улучшений по 2x дают 32x, а не 10x), поэтому любая построенная на них игра неизбежно доезжает до триллионов и дальше. Большие числа, видимая отдача дизайна, а не украшение.
Почему каждое следующее здание дороже предыдущего?
Игры масштабируют каждую покупку геометрически: распространённая конвенция, популяризованная Cookie Clicker, каждая копия стоит примерно на 15% больше предыдущей. Без растущих цен экспоненциальный доход позволял бы скупить всё мгновенно. Именно растущая кривая цен превращает трату в решение, а не в формальность.
Что означает «e» в числах idle-игр, например 2.5e15?
Это научная нотация: число после «e» показывает, на сколько позиций сдвигается десятичная запятая. То есть 2.5e15, это 2,5, за которыми идут ещё 14 цифр, 2,5 квадриллиона. Сравнивайте числа по тому, что стоит после «e»: 1e18 в десять раз больше 1e17. Многие игры предлагают в настройках и буквенную нотацию (aa, ab, ac) как альтернативу.
Как решить, какое улучшение купить первым?
Поделите цену на прирост производства, получится срок окупаемости в секундах. Покупайте то, что окупается быстрее всего, и сначала проверяйте улучшения-множители, поскольку удвоение уже существующей линии зданий обычно выгоднее покупки ещё одного здания. Самый дешёвый вариант часто не лучший; деление занимает пять секунд и регулярно меняет ответ.
Как лучше играть в idle-игры: активно или оставлять работать?
И так, и так, по расписанию. Активная игра приносит больше за минуту, доход от скорости кликов и складывающиеся бонусы вроде золотых печений Cookie Clicker существуют, только пока вы у экрана. Пассивная игра приносит больше за единицу усилий, превращая часы, потраченные на другое, в бесплатный прогресс. Эффективная схема, короткие активные сессии ради множителей, длинные пассивные промежутки между ними и немедленная трата накопленного при каждом возвращении.